想像你周圍的空氣。在房間中的每一個點，空氣都有特定的速度——即移動的方向和速度。這就是一個 向量場。與僅告訴你每個點溫度的標量場不同，向量場會以箭頭「填滿」空間，描述風、洋流或重力等動態物理現象。
正式定義
為了從數學上分析這些場，我們使用以下基本定義：
定義 1（二維向量場）： 設 $D$ 為 $\mathbb{R}^2$ 中的一個集合。在 $\mathbb{R}^2$ 上的向量場是一個函數 $\mathbf{F}$，它將 $D$ 中的每一個點 $(x, y)$ 賦予一個二維向量：
$$\mathbf{F}(x, y) = P(x, y)\mathbf{i} + Q(x, y)\mathbf{j} = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle$$
其中 $P$ 和 $Q$ 是 標量場 （兩個變量的函數）。
定義 2（三維向量場）： 對於 $\mathbb{R}^3$ 的一個子集 $E$，該場定義為： $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
定義 2（三維向量場）： 對於 $\mathbb{R}^3$ 的一個子集 $E$，該場定義為： $$\mathbf{F}(x, y, z) = P(x, y, z)\mathbf{i} + Q(x, y, z)\mathbf{j} + R(x, y, z)\mathbf{k}$$
物理意義
- 速度場： 代表流體流動或風向模式。例如，圖 1 展示了舊金山灣的風向模式，而圖 13 建模了流體通過收縮管的流動。
- 力場：牛頓萬有引力定律 定義了一個場，其大小為 $|\mathbf{F}| = \frac{mMG}{r^2}$。以向量形式表示為：$\mathbf{F}(\mathbf{x}) = -\frac{mMG}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$。注意：物理學家通常用 $\mathbf{r}$ 代替 $\mathbf{x}$。
- 電場： 定義為 $\mathbf{E}(\mathbf{x}) = \frac{\varepsilon Q}{|\mathbf{x}|^3}\mathbf{x}$，表示單位電荷所受的力。
梯度場的幾何性質
若 $f$ 是一個標量函數，其梯度 $\nabla f$ 會產生一種特殊的向量場。在三維空間中，此處表示為：
$$\nabla f(x, y, z) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z}\mathbf{k}$$☸ 數學直覺
如圖 15 所示，梯度向量總是 垂直於 原函數 $f$ 的等高線（或等值面），並指向增長速率最大的方向。
範例 1：旋轉場
考慮 $\mathbf{F}(x, y) = -y\mathbf{i} + x\mathbf{j}$。在 $(1, 0)$ 點，我們得到 $\langle 0, 1 \rangle$；在 $(0, 1)$ 點，則得到 $\langle -1, 0 \rangle$。將這些點繪製出來後，可發現它們形成以原點為中心的環形流動——這正是建模渦流與機械旋轉的數學基礎。